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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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8. Calcule los siguientes límites
b) lim⁡x→0+(sin⁡(7x)+2x2ln⁡(x))\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin(7x)+2x^{2}\ln(x))

Respuesta

El límite que queremos calcular es:

lim⁡x→0+(sin⁡(7x)+2x2ln⁡(x))\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin(7x)+2x^{2}\ln(x))

Fijate que cuando xx tiende a 00, el primer sumando no tiene problema, tiende a 00. Ahora, en el segundo sumando, es decir 2x2ln⁡(x)2x^{2}\ln(x), tenemos una indeterminación de tipo "cero por infinito". Vamos a salvar esta indeterminación en un cálculo auxiliar, reescribiendo la expresión como un cociente para poder aplicar L'Hopital

Cálculo auxiliar

lim⁡x→0+2x2ln⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0^{+}}2x^{2}\ln(x)

Reescribimos como un cociente:

lim⁡x→0+2x2ln⁡(x)=lim⁡x→0+ln⁡(x)12x2 \lim _{x \rightarrow 0^{+}}2x^{2}\ln(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{2x^{2}}}

Estamos frente a un "infinito sobre infinito", ahora si aplicamos L'Hopital:

lim⁡x→0+1x−1x3=lim⁡x→0+−x2=0 \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{3}}} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} -x^{2} = 0

Entonces, volviendo al límite original obtenemos:

lim⁡x→0+(sin⁡(7x)+2x2ln⁡(x))=0+0=0\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin(7x)+2x^{2}\ln(x)) = 0 + 0 = 0
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